关於补数与二进位运算

补数为何存在?

为了将减法以加法的形式进行实作，减少电路开销(省去减法器)。

补数的讨论

一般来说，讨论补数会考虑到两种形式，在基底(Base)为r的条件下，讨论以下

1. r的补数 (r's complements)，又称为radix complements
2. (r - 1)的补数(r - 1's complements)，又称为diminished radix complements

举例来说，以基底为10的数，我们会讨论其10的补数和9的补数

补数的定义

定义:有一数字N，基底为r，共有n位数，则

的补数:
的补数:

观察:的补数 = 的补数

范例1 : 有一数字135( N )，基底为10( r )，共有3( n )位数

的补数 :
的补数 :
的补数 的补数

范例2 : 有一数字，基底为，共有位数
的补数 :

>  10000000
> - 1101100
> ---------
>   0010100

的补数:

>   1111111
> - 1101100
> ---------
>   0010011

的补数 的补数

补数应用，使用补数实作出减法

范例1. 计算
由於M为五位数，N为四位数，两位数相同才可进行运算，将N改为五位数，变成03250

1. 将3250转换为补数的形式(使用10的补数)

原式           使用10的补数转换後
>   72532       >   72532
> - 03250  -->  > + 96750
>  ------       > -------
>   69282       >  169282 (1为进位，将其舍去)

减掉某一个数事实上就是加上他的补数

范例2. 计算
由於M为四位数，N为五位数，两位数相同才可进行运算，将M改为五位数，变成03250

1. 将72532转换为补数形式(使用10的补数)

原式           使用10的补数转换後   将计算得到的结果再做10的补数并加上负号
>   03250       >   03250         >  100000
> - 72532  -->  > + 27468    -->  > - 30718   --> 取负号 --> -69282
>  ------       > -------         > -------
>  -69282       >   30718         >   69282

范例3. 计算
1.将1000011转换为补数形式(使用2的补数)

原式           使用2的补数转换後
>   1010100       >   1010100
> - 1000011  -->  > + 0111101
>  --------       > ---------
>   0010001       >  10010001 (1为进位，将其舍去)

范例4. 计算
将1010100转换为补数形式(使用2的补数)

原式           使用2的补数转换後   将计算得到的结果再做2的补数并加上负号
>   1000011       >   1000011       >  10000000
> - 1010100  -->  > + 0101100  -->  > - 1101111   --> 取负号 --> -0010001
>  --------       > ---------       > ---------
>  -0010001       >   1101111       >   0010001

二进位有号数

为了表示一个有号数，我们将一个数字的最左边位元做为表示符号的用途，一般来说，0表示正数，1表示负数。

范例1. 使用8 bit 二进位有号数来表示-9
9的二进位无号数形式0001001
这里我们必须将最左边的bit用来表示正负号，因此我们只使用7个bit来表示这个数的数值大小，而表示数值大小我们有三种方式

1. 二进位     2. 1的补数       3. 2的补数
   0001001      1110110         1110111
   
1. 有号二进位  2. 有号1的补数   3. 有号2的补数
 [1]0001001   [1]1110110     [1]1110111

通常情况我们使用2的补数来做为表示，原因为使用二进位表示法和1的补数表示法，会存在0有两种不同的表示法，且两者皆无法表示-8，而2的补数不存在这一些问题，因此我们使用2的补数做为表示有号数的方式。

表示范围

对一个有n bit的二进位系统而言
无号数范围 ~
有号数范围 ~

以4 bit的二进位系统而言
无号数范围 ~
有号数范围 ~

比较2的补数和有号2的补数

我们使用有号8 bits的二进位表示法来表示-9

有号2的补数
 9 =  0001001 (只使用7个bit)
-9 = 11110111 (加上符号表示的bit)

2的补数
 9 = 00001001 (使用8个bit)
-9 = 11110111 

小结:n bits的二补数表示法 = (n - 1)bits有号二的补数表示法

加法与减法

1. 负数以2的补数法来表示
2. 使用加法进行运算
3. 产生进位时，省略
4. 产生结果为负时，会自动转换为2的补数

范例1.

十进位   7 bits二进位  有号2的补数
  6      0000110      0_0000110
 13      0001101      0_0001101 
-13                   1_1110011(取13对2的补数後加上符号)

------------------------------------------------------

>     6   有号2的补数  >   00000110
> +(-13)  -------->   > + 11110011
> ------              > ----------
>    -7               >   11111001
>                         ^
>                       负数符号 後方7bit为7的2的补数

溢位(Overflow)

假设一个8 bit系统的有号二补数的加法

>   65    >   01000001
> + 70    > + 01000110
> ----    > ----------
>  135    >   10000111

加完之後我们会发现值变成负的，这是因为8 bit二埔数系统表示的值范围在-128 ~ 127，而65 + 70 = 135，这个值超出了表示范围，因此出现错误的结果，这样的现象称为溢位。

BCD(Binary Coded Decimal)

使用一组4 bit来表示十进位0 ~ 9。

范例 1:

好处:快速将十进位转换到二进位，有些无法以二进位有限位数表示的小数，如0.2，使用BCD可以非常简便的表示出来
坏处:浪费记忆体中间，本来4 bit可以表示成16种组合，现在只能表示成10种组合