唤醒与生俱来的数学力 (4) 逻辑推论

终於到了尾声，本书的最後 80 页我看了 2 次，不太确定自己到底有没有读错，总之就来努力摘要一下。

终盘的主题是：

• 具体化
• 逆向思考
• 培养数学的美感 - 合理性、对称性、一致性（结语）

过程中穿插各种高中数学与意想天开的举例，最後的总结是：

• 数学是一门建立在「看穿事物本质」之精神上的学问。
• 但尚未被揭发的本质究竟躲在哪里呢？⋯⋯遍寻不着时，大部分的人都会不自觉地往复杂的方向思考。在这种时候，不妨让思绪回到最单纯的状态。
• 当你认为自己发现了「本质」，但想确认它是不是真正的本质时，请检视该本质是否可以用来统一说明大部分的情况。如果它只适用於特定情况，那肯定不是真正的本质。
• 想要统一说明、甚至想让说明愈简单愈好的欲望，就是一种「非常数学」的思维。这样的思维正是带领我们看穿事物本质的最佳功臣。

具体化

要把一件事说清楚，需要「往返在具体与抽象之间」。

• 整理、顺序、转换、抽象化等前半局的主题，目标是「提升说明能力」
• 後半的目标是：「以逻辑性的方式进行推论」

透过逻辑性的方式，由己知情况推导出未知的两种方法：

• 演绎法：
  • 从适用全体的理论（假说），推导至个别状况
  • 缺点：假说有误、或套用范围受限时，就可能会把假说套用在不适合的情况
• 归纳法：
  • 从个别状况推导出适用全体的理论
  • （也就是从多组具体实例中找出共通性质，再加以抽象化）
  • 缺点：无法验证所有事例，或提出同等逻辑证明时，最後的抽象结论未必为真，要注意有机率的要素。

举例说明：

• 用一元二次方程序的解题过程举例，直接套公式是演绎法，而从个案推导公式是归纳法。
• 在开发产品的「调查-企划-设计-试做-推销」流程中，交替使用演绎/归纳，可发挥极大的力量。

逆向思考

数学的举例：

• 求「图形面积」时，可以从全体扣除特定图形，得到剩余面积。
• 机率型题目中，问几种情况。例如「投掷 4 枚硬币，至少有 1 枚是正面的机率是多少」
  • 此时要逐一考量时的计算比较麻烦
  • 而逆向思考可以从「全部为反面」的情况来计算，也就是差集的思考，算式为 1-[(1/2)^4] = 15/16

神奇的举例 - 分析造成情绪的事件 - ABC 理论

• 发生了某事件（A），就会产生情绪结果（C）
• A 到 C 之间有 Belief 的运作，而 B 段又有理性/非理性的类型
• 当 B 段为非理性思考时，要从中跳脱，需要进入第四段 Dispute，进行逆向思考，才能找回思考的弹性

在神奇的心理学案例後，进入了「逆向」的逻辑证明 XD

• 「若 P 则 Q」的逆向有可能是⋯⋯
  • 若 Q 则 P （逆命题）- 前後互相对调
  • 非 P 则非 Q（否命题）- 前後不变，但分别改成否定
  • 非 Q 则非 P（对偶命题）- 前後互相对调，且分别改成否定
• 白话文对照「如果努力没有回报 (P)，就不算是真正的努力 (Q)」
  • 若 Q 则 P （逆命题）- 若不是真正的努力 (Q)，就不会得到回报 (P)
  • 非 P 则非 Q（否命题）- 如果努力得到了回报 (P')，就算是真正的努力 (Q')
  • 非 Q 则非 P（对偶命题）- 如果是真正的努力 (Q')，就一定会得到回报 (P')
• 按照定义整理：

由於原命题和对偶命题的真伪完全一致（互为充要），因此最适合拿来进行逆向思考。（然後作者又画了一次图形来确定关系是「小→大」）

逆向思考的意义是，当原始命题难以判别真伪时（例如受到情绪影响时），可以改用对偶命题来思考。（接着展示了高中数学证明题⋯⋯）

本节最後还介绍了⋯

• 反证
  • 先假设某命题不成立
  • 导出矛盾结果
• 二律背反：
  • 互相矛盾的两个命题同时成立
  • 例如「他是加害者也同时是受害者」
• 当二律背反成立时，反证明就毫无用武之地，此时需要深入思考，因此进行逻辑思考时，需要具备辨识二律背反的能力。

数学的美感

由於已经到终章了，所以介绍几个大原则：

• 合理性 - 总之就是用自己的头脑思考，培养出一颗能感受合理之美的心
• 对称性 - 活用美感，产生对称，例如「数」和「图形」的关联
• 一致性 - 美丽的公式与真理们

在说明「对称性」的时候，作者用座标计算来说明。

然後最後用一个 Google 面试题，鼓励大家要保持挑战奇怪问题的好奇心。

END

其实本来想偷懒快速笔记的，但总觉得太省略会让论述看起来很荒谬（啊是我那颗感受合理之美的心吗），只好在连假的尾声认真地做了笔记。

话说，因为我一直念念不忘中文书名「唤醒你与生俱来的数学力」，在阅读过程中，我一直好奇「到底在【唤醒】什麽【数学力】呢？」本书下半场进入逻辑世界後，我对於「唤醒」那两个字实在耿耿於怀。

最後觉得可能是翻译书名太浮夸了，重新查了原文书名「根っからの文系のためのシンプル数学発想术」，不太确定日文的断句逻辑，但应该比较像是「从文组角度而写的简单数学思考术」。

就说嘛！！！哪有「唤醒」那麽浮夸！！！！

嗯总之我的数学力应该还沉睡在地底三千尺，还没醒来谢谢。不过这本书很好看，各位如果有什麽刚上高中的堂表弟妹们，可以考虑送这本书当成礼物。