[Day6] 多变量时间序列预测的鼻祖：向量自回归模型 (VAR)

第六篇我们要对之前提过的 AR model (AutoRegressive model) 做一个延伸，那就是「VAR (Vector Autoregression model)，向量自回归模型」！

为什麽要延伸介绍它呢？
这是因为原本的 AR model 只能处理单变量时间序列，而 VAR 可以容纳大於 1 个变量，所以适用於处理「多变量时间序列 (multivariate time series)」，更贴近实务需求！

向量自回归模型的起源

• 由 Christopher Albert 於 1980 年提出，用於宏观经济的实证研究，分析经济如何受到政策的临时改变和其他因素的影响等。
• 随着能够搜集的资料越多、环境越复杂，多变量时间序列分析的情境需求增加，t 个时间间隔中，任一时间间隔所要观测的样本变量从 1 个增加到了 N 个。
• 原本的自回归模型无法考虑到变量间的影响关系，因此延伸出以矩阵形式表达多变量时间序列关系的向量自回归模型。

虽然向量自回归模型是一个进化版，但相比现今非线性模型，如树回归模型、递归神经网络家族等，向量自回归主要还是线性方法，对於变化更复杂的时间序列就还是有很多优化空间了。

从 AR 到 VAR

还记得我们说过自回归模型是，假设当前时间点数值与过去时间点存在一线性关系。
那延伸到 VAR，就是将原本的单变量，改以矩阵表示多变量的自回归系数，用以下公式表示：

其中：

• y 表示在时间点 t 时的观测值
• A 表示向量自回归模型的系数矩阵
• c 表示截距值
• epsilon 表示误差值

实际把矩阵写出来，以时间序列中有 2 个变量的 VAR(1) 为例：
（VAR(p)，p=1，当前时间与过去前 1 个时间点的线性关系表达式）

多变量时间序列相关套件

有什麽套件能够帮助我们建立 VAR model 呢？ 当然不能不提到 python package 中的统计爱用包：statsmodels

from statsmodels.tsa.api import VAR

除此之外，做完整的时间序列分析，不能少了「平稳性检测（Stationarity Check）」以及拟合程度指标，常用的例如： AIC (Akaike information criterion)、RMSE (Root-Mean-Squared Error)

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
from statsmodels.tools.eval_measures import rmse, aic

下一篇我们就可以来实际走过一遍，如何用 Python 进行多变量时间序列预测。

资料来源：

• Sims, Christopher Albert
• 时间序列分析 | 向量自回归模型