量化交易30天 Day28 - 投资组合概念(八) CAPM实际应用

量化交易30天
本系列文章是纪录一位量化交易新手的学习过程，除了基础的Python语法不说明，其他金融相关的东西都会一步步地说明，希望让更多想学习量化交易但是没有学过相关金融知识的朋友们，透过这系列的文章，能够对量化交易略知一二，也欢迎量化交易的高手们多多交流。

上一篇的Jensen alpha公式，是再分析资产是否有超额报酬，这篇就要实际拿个股来测试看看，怎麽将价格资料带入，计算alpha、beta。

# 回顾一下公式
Ra = α + Rf + β * ( Rm - Rf ) + 误差项

如果将上面公式的Rf移到等号左边，会变成下面这个公式

( Ra - Rf ) = α + β * ( Rm - Rf ) + 误差项

这个式子可以看成下面这条

Y = a + bX + 误差项

Y：Ra - Rf，每天的报酬率扣掉无风险报酬率
X：Rm - Rf，市场报酬率扣掉无风险报酬率

而我们之所以用CAPM，就是想知道资产跟市场报酬的关系，所以想求出计算式中的 a 及 b，但是由於每天的Y及X是会一直变动的，所以我们不太可能透过一组(X, Y)数组就算出 a 及 b，只能用一堆(X, Y)数组去估计，这边就需要运用统计学的知识了。

Ordinary Least Squares Regression (OLS 回归模型)

要找出X跟Y的关系，可以用回归模型来找找看，因为只有两个变数X,Y，所以只需要OLS即可，OLS的概念大概就是在下图这些红点中，找出一条蓝色直线，最小化每一点跟这条线的垂直距离的平方和。

CAPM用来计算苹果(AAPL)跟标普500指数ETF(SPY)的关系

要套用CAPM，我们需要有一档商品的报酬率、市场报酬率，以及无风险报酬率，这边就用AAPL来练习，市场报酬则是采用SPY为基准，无风险利率则是采用美国十年期公债殖利率作为参考。

爬资料

import os
import pandas_datareader as pdr
SPY = pdr.get_data_tiingo('SPY', api_key='YOUR API KEY')
AAPL = pdr.get_data_tiingo('AAPL', api_key='YOUR API KEY')

整理资料

# SPY 2019 日报酬率
SPY = SPY.reset_index(level=[0,1])
SPY.index = SPY['date']
SPY_adj = SPY.iloc[:,7:11]
SPY_adj.columns = ['Close','High','Low','Open']
SPY_Close_adj = SPY_adj.Close
ret1 = SPY_Close_adj.shift(-2) / SPY_Close_adj.shift(-1)
spy_daily_ret = ret1 - 1
spy_daily_ret_2019 = spy_daily_ret['2019']

# AAPL 2019 日报酬率
AAPL = AAPL.reset_index(level=[0,1])
AAPL.index = AAPL['date']
AAPL_adj = AAPL.iloc[:,7:11]
AAPL_adj.columns = ['Close','High','Low','Open']
AAPL_Close_adj = AAPL_adj.Close
ret1 = AAPL_Close_adj.shift(-2) / AAPL_Close_adj.shift(-1)
aapl_daily_ret = ret1 - 1
aapl_daily_ret_2019 = aapl_daily_ret['2019']

# 整合成一个dataframe
import pandas as pd
ret_data = pd.concat([aapl_daily_ret_2019,spy_daily_ret_2019], axis = 1)
ret_data.columns = ['AAPL', 'SPY']
ret_data

	                        AAPL	      SPY
date		
2019-01-02 00:00:00+00:00	0.042689	0.033496
2019-01-03 00:00:00+00:00	-0.002226	0.007885
2019-01-04 00:00:00+00:00	0.019063	0.009395
2019-01-07 00:00:00+00:00	0.016982	0.004673
2019-01-08 00:00:00+00:00	0.003196	0.003528
...	...	...
2019-12-24 00:00:00+00:00	-0.000379	-0.000248
2019-12-26 00:00:00+00:00	0.005935	-0.005513
2019-12-27 00:00:00+00:00	0.007307	0.002429
2019-12-30 00:00:00+00:00	0.022816	0.009352
2019-12-31 00:00:00+00:00	-0.009722	-0.007572

上面这张表就是2019年AAPL与SPY的日报酬率资料

无风险利率

因为2019年共有252个交易日，所以要将年利率取252次方根

# risk free return
rf_ret = 1.0078 ** ( 1 / 252 ) - 1

AAPL与SPY的日报酬率扣掉无风险利率

可以对照上面的数字，会有些微的差距。

Ex_ret = ret_data - rf_ret
Ex_ret

	                        AAPL	         SPY
date		
2019-01-02 00:00:00+00:00	0.042659	0.033465
2019-01-03 00:00:00+00:00	-0.002257	0.007854
2019-01-04 00:00:00+00:00	0.019032	0.009365
2019-01-07 00:00:00+00:00	0.016951	0.004643
2019-01-08 00:00:00+00:00	0.003165	0.003497
...	...	...
2019-12-24 00:00:00+00:00	-0.000410	-0.000279
2019-12-26 00:00:00+00:00	0.005904	-0.005544
2019-12-27 00:00:00+00:00	0.007276	0.002398
2019-12-30 00:00:00+00:00	0.022785	0.009321
2019-12-31 00:00:00+00:00	-0.009753	-0.007603

AAPL与SPY 日报酬率散布图

import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False

plt.scatter(Ex_ret.values[:,0],Ex_ret.values[:,1])
plt.title('AAPL return and SPY return')

下面就是要用这个散布图里面，用OLS去估计一条直线，来代表AAPL与SPY的关系。

使用statsmodels OLS模组

statsmodels是python的一个统计函数库，里面就有OLS模组可以直接套用，非常方便。

import statsmodels.api as sm
model=sm.OLS(Ex_ret.AAPL[1:],sm.add_constant(Ex_ret.SPY[1:]))
result=model.fit()
result.summary()

根据上述的计算，可以求出：

Ra - Rf = 0.0014 + 1.464 * ( Rm - Rf ) + 误差项

观察统计数据，SPY的p-value小於0.05，表示风险系数beta显着不等於0，beta取值1.464表示AAPL这档个股的波动度高於SPY，另外alpha取值0.0014表示有存在超额报酬率，且p-value小於0.05，表示alpha显着不等於0。

本篇总结
这篇实作用CAPM理论去计算AAPL跟SPY的关系，用到了一些统计学的概念，包含最小平方和、假设检定...等等，算是有点深入，应该会需要消化一下或是google相关知识，不过还是挺有趣的。

P.S.
如果大家对於量化交易有兴趣的话，我自己有上过以下这门课，课程内容从串接股市资料API、储存至资料库、将自己的策略转化成程序码、自动下单，并且可以把整个流程自动化，每天早上执行一次，一整天就不用看盘了，觉得是蛮实战的，可以参考看看。

笔者 Sean
奈米户投资人 / Python爱用者
喜欢用Python玩转金融数据，从个股基本面、技术面、筹码面相关资料，一直到总体经济数据，都是平常接触到的素材；对於投资，除了研究历史数据，也喜欢了解市场上大家在玩些什麽。