课堂笔记 - 深度学习 Deep Learning (18)

上一篇有提到关於如何在向量中求梯度下降的公式，
因此此篇要来讲为什麽要向量v跟f(x,y)的偏微分作内积：

• Properties of the Directional Derivative

首先我们已经知道内积可以有两种算法：
假设现在有 A[a1,a2] 和 B[b1,b2] 要作内积，

1. 直接爆开互乘，A dot B = a1 * b1 + a2 * b2
2. 长度 * A和B之间的cos夹角，A dot B = |A| * |B| * cosΘ

在这边我们要使用的是第二种方式，
首先假设我们知道公式是，
也就是v跟f(x,y)的偏微分作内积，
因此把它展开看可以知道

v在这边不重要，因为v只是代表我们在那个向量v带入时所得到的梯度下降，所以这边就先假设他是1，可以得到：

现在可以知道当我们要求出梯度上升的极大值的话，唯一的变数就是cosΘ，而当 Θ = 0°时会有最大值cosΘ = 1，
也就是说当向量v跟f(x,y)重叠时，会有最大的上升值。

相反的，当我们要校正它并测量梯度下降的时候， Θ = 180°时会有最大值cosΘ = -1，
也就是说当向量v向量v跟f(x,y)相反方向时，会有最大的下降值。

• Gradient Descent of Error Function

於是当我们要透过梯度下降找到最小值的Error Function时，便会采用，
也就是透过对E(w,b)作偏微分，找到error function自己的梯度关系曲线。