小学数学(bit ver.)

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例题答案

不知道各位有没有试试看前面的题目呢??这边稍微讲解一下ㄅ
首先是a.

op=0 (代表R-type), funct=32 (也就是100000)

代表加法ADD指令

rs=1, rt=2, rd=3

分别代表$at, $v0, $v1

所以代表将$at+$v0的结果放在$v1
Assembly的写法就会是

add $v1, $at, $v0

再来是b.

op=43 (101011)

代表sw指令

rs=16, rt=5

分别代表$s0, $a1

而immediate只是代表位移的数量而已

所以代表将$s0中存的位置加上4
结果所指到的位址中的资料放进$a1中
Assembly的写法为

sw $a1, 4($s0)

你答对了吗??

稍微有点困难啦，毕竟sw上次没有提到。
不过大学就是这样嘛，东西很多教授不可能全部讲一次。
所以我们继续努力吧！

二进位转换方式

前面我们在标记register的位置时，使用2进位制，也就是说最初的代表2的0次方，在往前为2的1次方，以此类推，所以当我们要将数字从10进位制转换成2进位制时，基本上用短除法就能够做出来，或是一直用小於当下数字且最大的2的次方减下去也可以，以109来举例的话…

109 - 64 = 45 (1xxxxxx)
45 - 32 = 13 (11xxxxx)
13 < 16 (110xxxx)
13 - 8 = 5 (1101xxx)
5 - 4 = 1 (11011xx)
1 < 2 (110110x)
1 - 1 = 0 (1101101)

当啷！是不是很简单阿~结果就是1101101喔！

负数表示方式

那麽既然正数可以如此表示，那麽负数呢？
既然负数会有一个减号在前面，我们可以在2进位的最前面多增加一个代表正负数的bit。
这就叫做sign and magnitude
所以 109 = 01101101
如果-109 = 11101101
那麽问题来了，以8个bit来表示数字的话
0就有正负0两种可能
+0 = 00000000
-0 = 10000000

另外一种没什麽在用的方法称为1's Complement
就是直接取补数就好(1变0，0变1)
所以 109 = 01101101
那麽-109 = 10010010
这麽一来有些加减法可以正常运作，有些不行
不过0一样有正负0两种表示方法，所以

最後一个最实用的，升级版的前者：2's Complement
取完补数後将结果+1
这麽一来
0 = 00000000
-0 = 11111111 + 1 = 1 00000000
最前面的1会跑出我们在意的8 bit
所以结果仍然是00000000
并且负数换成正数也是同样的作法
有兴趣的同学可以试试看
采用了2's Complement，可以解决正负0的问题 不会撞号

加减法

定义好数字的正负如何表示之後，加减法的部份就简单多了。
加法只要将两者加起来；减法则要将後者变号，再使用加法即可。

举例来说

要特别注意的是，在7+9=16之中，发生了进位，要是进位的时候压到了最前面的bit，就会让人认为结果是负数，这种情况称为Overflow

Overflow

写过程序的同学，应该听过这个词，中文称为溢位(腋味)。

如果在c语言中执行以下程序码片段

int x = 1000000000;
int y = 2000000000;
printf("%d\n", x+y);

则会出现

-1294967296

这就是因为加法之後进位压到了sign bit，导致程序以为结果为负数。
所以做计算的时候要特别注意，基本上正数加上正数，以及负数加上负数都有可能发生溢位。

加法器

以int来说，最大的数字为 ${2}^{31}-1$，也就是说如果要一次加起两个数字，我们需要一个32 bit的加法器，不过太大了，并且如果又要支援更大的加法，又会需要更大的加法器来一次实施，所以我们不是这样想的，我们用的是多个加法器连接来计算。

也就是说，以一个32 bit的加法来看，我们用的是32个1 bit的加法器，一个一个的加上去，并且将进位往後传，就像是国小老师教的那样，那个我们单纯将一堆加法器连接在一起，就称为Ripple Carry Adder。

不过这代表每次都要等前面一个adder做完运算才能轮到下一位。

为了加快速度，出现了新的加法加速器，这就是Carry Lookahead Adder(CLA)

透过逻辑运算，我们可以将前面是否会进位提早告诉後面的adder，这麽一来就能将结果加速，至於CLA的原理，碍於篇幅的关系，杰哥打算留到下一篇再跟各位介绍。

牛刀小试

这篇轻轻松松，我们做两个简单的加减法就好了，题目如下：

在纸上写出计算过程吧~~

成为资工金牌之路有你有我